Fortran在地球物理学中的算法实现

Fortran语言基础回顾

Fortran（Formula Translation）是世界上最早出现的高级编程语言之一，诞生于20世纪50年代中期。它以其强大的数值计算能力和对科学计算友好的语法结构，在地球物理学领域得到了广泛应用。

Fortran语法结构特点

1. 程序结构：Fortran程序由一个主程序（main program）和若干个子程序（subroutine）或函数（function）组成。主程序是程序执行的入口点，负责调用子程序和函数完成具体任务。例如：

program main
    implicit none
    call subroutine_name
end program main

subroutine subroutine_name
    implicit none
    write(*,*) 'This is a simple subroutine'
end subroutine subroutine_name

在上述代码中，main程序调用了subroutine_name子程序，implicit none语句要求所有变量都必须先声明后使用，这有助于提高代码的可读性和可维护性。

2. 变量声明：Fortran中的变量需要先声明其类型。常见的变量类型有整型（integer）、实型（real）、双精度实型（double precision）、字符型（character）等。例如：

program variable_declaration
    implicit none
    integer :: num
    real :: value
    double precision :: big_value
    character(len=50) :: text
    num = 10
    value = 3.14
    big_value = 1.2345678901234567d0
    text = 'This is a string'
    write(*,*) 'Integer value:', num
    write(*,*) 'Real value:', value
    write(*,*) 'Double precision value:', big_value
    write(*,*) 'Character string:', text
end program variable_declaration

这里分别声明了整型变量num、实型变量value、双精度实型变量big_value和字符型变量text，并对它们进行了赋值和输出。

3. 数组操作：数组在Fortran中是非常重要的数据结构，用于存储和处理大量的数据。可以声明一维、二维甚至多维数组。例如：

program array_example
    implicit none
    integer, dimension(5) :: int_array
    real, dimension(3, 4) :: real_matrix
    int_array = [1, 2, 3, 4, 5]
    real_matrix = reshape([1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0, 11.0, 12.0], [3, 4])
    write(*,*) 'One - dimensional integer array:', int_array
    write(*,*) 'Two - dimensional real matrix:'
    do i = 1, 3
        write(*,*) real_matrix(i, :)
    end do
end program array_example

此代码展示了一维整型数组int_array和二维实型矩阵real_matrix的声明、赋值和输出。reshape函数用于将一维数组转换为指定维度的多维数组。

4. 控制结构：Fortran提供了丰富的控制结构，如if - then - else条件语句和do循环语句。if - then - else用于根据条件执行不同的代码块，do循环用于重复执行一段代码。例如：

program control_structures
    implicit none
    integer :: i
    integer :: num = 5
    if (num > 3) then
        write(*,*) 'The number is greater than 3'
    else
        write(*,*) 'The number is less than or equal to 3'
    end if
    do i = 1, 10
        write(*,*) 'Loop iteration:', i
    end do
end program control_structures

这里通过if - then - else判断num是否大于3，并根据结果输出不同信息，同时使用do循环从1到10进行迭代并输出迭代次数。

地球物理学中的常见算法及Fortran实现

地震波传播模拟算法

1. 波动方程基础：地震波传播可以用波动方程来描述。在一维情况下，波动方程为$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$，其中$u(x,t)$是位移，$c$是波速，$x$是空间坐标，$t$是时间。

为了在计算机上求解该方程，我们通常采用有限差分法将其离散化。假设空间步长为$\Delta x$，时间步长为$\Delta t$，则离散后的波动方程可以表示为： $u_{i}^{n + 1}=2u_{i}^{n}-u_{i}^{n - 1}+c^{2}\frac{\Delta t^{2}}{\Delta x^{2}}(u_{i + 1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i - 1}^{n})$ 其中$u_{i}^{n}$表示在$x = i\Delta x$位置和$t = n\Delta t$时刻的位移。

2. Fortran代码实现：

program seismic_wave_propagation
    implicit none
    integer, parameter :: nx = 100! 空间网格点数
    integer, parameter :: nt = 500! 时间步数
    real, parameter :: dx = 1.0! 空间步长
    real, parameter :: dt = 0.01! 时间步长
    real, parameter :: c = 1.0! 波速
    real, dimension(0:nx) :: u_old, u_current, u_new
    integer :: i, n
   ! 初始化边界条件和初始条件
    do i = 0, nx
        u_old(i) = 0.0
        u_current(i) = 0.0
    end do
    u_current(nx / 2) = 1.0! 初始脉冲
    do n = 1, nt - 1
        do i = 1, nx - 1
            u_new(i)=2.0*u_current(i)-u_old(i)+(c * dt / dx) ** 2 * (u_current(i + 1)-2.0*u_current(i)+u_current(i - 1))
        end do
        u_new(0)=0.0! 固定边界条件
        u_new(nx)=0.0
        u_old = u_current
        u_current = u_new
        if (mod(n, 10)==0) then
            write(*,*) 'Time step:', n
            do i = 0, nx
                write(*,*) i, u_current(i)
            end do
        end if
    end do
end program seismic_wave_propagation

在这段代码中，我们首先定义了空间和时间的参数，以及波速。然后初始化了位移数组u_old、u_current和u_new，并设置了初始条件（在空间中点处有一个脉冲）。通过嵌套的do循环，根据离散化的波动方程更新位移值，并在每10个时间步输出一次结果。

重力异常反演算法

1. 重力异常理论：地球表面的重力异常是由于地下物质密度分布不均匀引起的。假设地下存在一系列密度为$\rho_{i}$的地质体，其对地面某点$P$的重力异常$\Delta g$可以通过积分计算： $\Delta g(P)=G\sum_{i}\rho_{i}\int_{V_{i}}\frac{z - z_{i}}{[(x - x_{i})^{2}+(y - y_{i})^{2}+(z - z_{i})^{2}]^{3/2}}dV_{i}$ 其中$G$是引力常数，$(x_{i},y_{i},z_{i})$是地质体$i$内某点的坐标，$(x,y,z)$是观测点$P$的坐标，$V_{i}$是地质体$i$的体积。

在实际计算中，通常将地下空间离散化为多个单元，将积分转换为求和。

2. Fortran代码实现：

program gravity_inversion
    implicit none
    integer, parameter :: nobs = 100! 观测点数
    integer, parameter :: ncells = 50! 地下单元数
    real, parameter :: G = 6.67430d - 11! 引力常数
    real, dimension(nobs) :: obs_gravity, calc_gravity
    real, dimension(ncells) :: rho! 密度
    real, dimension(3, nobs) :: obs_pos
    real, dimension(3, ncells) :: cell_pos
    real, dimension(ncells) :: cell_volume
    integer :: i, j
    real :: numerator, denominator
   ! 初始化观测点位置、地下单元位置、体积和密度
    do i = 1, nobs
        obs_pos(1, i)=real(i)
        obs_pos(2, i)=0.0
        obs_pos(3, i)=0.0
    end do
    do i = 1, ncells
        cell_pos(1, i)=real(i)
        cell_pos(2, i)=0.0
        cell_pos(3, i)= - 1.0
        cell_volume(i)=1.0
        rho(i)=1000.0
    end do
    do i = 1, nobs
        calc_gravity(i)=0.0
        do j = 1, ncells
            numerator = obs_pos(3, i)-cell_pos(3, j)
            denominator = sqrt((obs_pos(1, i)-cell_pos(1, j)) ** 2+(obs_pos(2, i)-cell_pos(2, j)) ** 2+(obs_pos(3, i)-cell_pos(3, j)) ** 2)
            calc_gravity(i)=calc_gravity(i)+G * rho(j) * cell_volume(j) * numerator / denominator ** 3
        end do
    end do
    do i = 1, nobs
        write(*,*) 'Observation point:', i
        write(*,*) 'Observed gravity:', obs_gravity(i)
        write(*,*) 'Calculated gravity:', calc_gravity(i)
    end do
end program gravity_inversion

此代码首先定义了观测点数、地下单元数等参数，并初始化了观测点位置、地下单元位置、体积和密度。通过双重循环，根据重力异常计算公式计算每个观测点的重力异常值，并输出观测值和计算值。

地磁场建模算法

1. 地磁场模型原理：地磁场可以用球谐函数展开来描述。在地球表面，地磁场的标量势$V$可以表示为： $V(r,\theta,\varphi)=a\sum_{n = 1}^{N}\sum_{m = 0}^{n}(\frac{a}{r})^{n + 1}[g_{n}^{m}\cos(m\varphi)+h_{n}^{m}\sin(m\varphi)]P_{n}^{m}(\cos\theta)$ 其中$r$是距离地心的距离，$\theta$是余纬，$\varphi$是经度，$a$是地球半径，$g_{n}^{m}$和$h_{n}^{m}$是高斯系数，$P_{n}^{m}(\cos\theta)$是缔合勒让德函数。

2. Fortran代码实现：

program geomagnetic_field_modeling
    implicit none
    integer, parameter :: N = 10! 球谐展开阶数
    real, parameter :: a = 6371.2d3! 地球半径
    real, parameter :: r = 6371.2d3! 观测半径
    real, parameter :: theta = 0.0! 余纬（这里假设为0）
    real, parameter :: phi = 0.0! 经度（这里假设为0）
    real :: V
    real, dimension(N + 1, N + 1) :: g, h
    real, dimension(N + 1, N + 1) :: P
    integer :: n, m
   ! 初始化高斯系数
    do n = 1, N
        do m = 0, n
            g(n, m)=0.0
            h(n, m)=0.0
        end do
    end do
    g(1, 0)= - 29554.0d0
    g(1, 1)= - 1670.0d0
    h(1, 1)=5478.0d0
   ! 计算缔合勒让德函数
    do n = 0, N
        P(n, 0)=1.0
        do m = 1, n
            if (m == 1) then
                P(n, 1)= - dsqrt(2.0d0 * n + 1.0d0) * dsqrt(1.0d0 / (2.0d0 * n + 3.0d0)) * dsin(theta) * P(n - 1, 0)
            else
                P(n, m)=dsqrt((2.0d0 * n + 1.0d0) * (1.0d0 - dble(m) ** 2.0d0) / (2.0d0 * n - 1.0d0)) * dsin(theta) * P(n - 1, m - 1)-dsqrt((2.0d0 * n + 1.0d0) * (2.0d0 * n - 1.0d0) / (2.0d0 * n - 3.0d0)) * dcos(theta) * P(n - 2, m - 1)
            end if
        end do
    end do
    V = 0.0
    do n = 1, N
        do m = 0, n
            V = V+(a / r) ** (n + 1)*(g(n, m) * dcos(m * phi)+h(n, m) * dsin(m * phi)) * P(n, m)
        end do
    end do
    write(*,*) 'Geomagnetic scalar potential:', V
end program geomagnetic_field_modeling

这段代码首先定义了球谐展开阶数、地球半径等参数，并初始化了高斯系数。然后通过循环计算缔合勒让德函数，最后根据球谐函数展开公式计算地磁场的标量势并输出。

Fortran在地球物理数据处理中的应用

数据读取与预处理

1. 数据格式：地球物理数据通常有多种格式，如ASCII文本格式、二进制格式等。以ASCII文本格式为例，数据可能以表格形式存储，每行代表一个观测值或一组相关数据。

2. Fortran数据读取代码：

program read_geophysical_data
    implicit none
    integer :: i, unit_num
    real, dimension(100) :: data
    open(newunit = unit_num, file = 'data.txt', status = 'old')
    do i = 1, 100
        read(unit_num, *) data(i)
    end do
    close(unit_num)
    do i = 1, 100
        write(*,*) 'Data point', i, ':', data(i)
    end do
end program read_geophysical_data

此代码打开名为data.txt的文件，逐行读取数据并存储到数组data中，最后关闭文件并输出数据。

3. 数据预处理：数据预处理可能包括去除异常值、数据平滑等操作。例如，使用移动平均法进行数据平滑：

program smooth_data
    implicit none
    integer :: i, n
    real, dimension(100) :: data, smoothed_data
    real :: window_size = 5.0
    do i = 1, 100
        data(i)=sin(0.1 * real(i))+0.1 * (rand() - 0.5)! 生成模拟数据
    end do
    do i = 1, 100
        if (i <= window_size / 2) then
            smoothed_data(i)=sum(data(1:i + int(window_size / 2))) / (i + int(window_size / 2))
        else if (i > 100 - window_size / 2) then
            smoothed_data(i)=sum(data(i - int(window_size / 2):100)) / (101 - i + int(window_size / 2))
        else
            smoothed_data(i)=sum(data(i - int(window_size / 2):i + int(window_size / 2))) / window_size
        end if
    end do
    do i = 1, 100
        write(*,*) 'Original data:', data(i)
        write(*,*) 'Smoothed data:', smoothed_data(i)
    end do
end program smooth_data

这里生成了一组模拟数据，并使用移动平均窗口大小为5对数据进行平滑处理，输出原始数据和平滑后的数据。

数据可视化辅助

虽然Fortran本身不是专门的数据可视化语言，但可以通过输出数据到文件，再利用其他可视化工具（如Python的Matplotlib、GMT等）进行可视化。例如，将地震波传播模拟的数据输出到文件：

program output_for_visualization
    implicit none
    integer, parameter :: nx = 100
    integer, parameter :: nt = 500
    real, parameter :: dx = 1.0
    real, parameter :: dt = 0.01
    real, parameter :: c = 1.0
    real, dimension(0:nx) :: u_old, u_current, u_new
    integer :: i, n
    integer :: unit_num
    open(newunit = unit_num, file ='seismic_wave_data.txt', status = 'unknown')
    do i = 0, nx
        u_old(i)=0.0
        u_current(i)=0.0
    end do
    u_current(nx / 2)=1.0
    do n = 1, nt - 1
        do i = 1, nx - 1
            u_new(i)=2.0*u_current(i)-u_old(i)+(c * dt / dx) ** 2 * (u_current(i + 1)-2.0*u_current(i)+u_current(i - 1))
        end do
        u_new(0)=0.0
        u_new(nx)=0.0
        u_old = u_current
        u_current = u_new
        if (mod(n, 10)==0) then
            write(unit_num, *) 'Time step:', n
            do i = 0, nx
                write(unit_num, *) i, u_current(i)
            end do
        end if
    end do
    close(unit_num)
end program output_for_visualization

这样生成的seismic_wave_data.txt文件可以被Python等工具读取并绘制出地震波传播的图像。

Fortran与其他语言的结合应用

Fortran与Python结合

1. 原因：Python具有丰富的科学计算库（如NumPy、SciPy）和强大的数据可视化库（如Matplotlib），而Fortran在数值计算方面效率高。结合两者可以充分发挥各自的优势。

2. 调用方式：可以使用f2py工具将Fortran子程序编译成Python可调用的模块。例如，有一个Fortran子程序add.f90：

subroutine add(a, b, result)
    real, intent(in) :: a, b
    real, intent(out) :: result
    result = a + b
end subroutine add

使用f2py编译命令：f2py -c -m add_module add.f90，编译后可以在Python中调用：

import add_module
a = 3.0
b = 5.0
result = add_module.add(a, b)
print('The result of addition:', result)

这样就实现了Fortran与Python的结合，在Python中调用Fortran的高效计算功能。

Fortran与C/C++结合

1. 优势：C/C++具有良好的系统底层操作能力和广泛的应用生态。Fortran与C/C++结合可以在开发复杂地球物理软件时，充分利用C/C++的特性进行系统资源管理等操作，同时发挥Fortran的数值计算优势。

2. 接口实现：Fortran和C/C++之间的接口需要注意数据类型的匹配和调用约定。例如，在Fortran中定义一个函数multiply.f90：

function multiply(a, b) result(res)
    real, intent(in) :: a, b
    real :: res
    res = a * b
end function multiply

在C语言中调用这个Fortran函数，可以通过编写一个C接口函数，再链接Fortran编译生成的目标文件。具体的实现涉及到编译器特定的选项和链接过程，不同的编译器可能有一些差异，但基本原理是通过正确的函数声明和链接来实现跨语言调用。

通过以上对Fortran在地球物理学中算法实现的各个方面介绍，包括语言基础、常见算法实现、数据处理以及与其他语言结合应用，希望能为地球物理学领域的科研人员和开发者在使用Fortran进行相关工作时提供全面而深入的参考。