Fortran在固体力学分析中的实现

Fortran 基础与固体力学分析概述

Fortran 编程语言简介

Fortran（Formula Translation）是世界上最早出现的高级编程语言之一，诞生于 20 世纪 50 年代中期。它专为科学和工程计算而设计，具有高效的数值计算能力、强大的数组操作功能以及良好的可移植性。Fortran 语言以其简洁明了的语法结构和卓越的性能，在科学计算领域长期占据着重要地位。

在 Fortran 中，变量声明是明确且严格的，这有助于提高程序的可读性和可维护性。例如，使用 INTEGER 关键字声明整型变量，REAL 声明实型变量。

INTEGER :: num
REAL :: value

Fortran 支持丰富的数据结构，除了基本的数据类型，还拥有数组、结构体等。数组在 Fortran 中是非常强大的工具，尤其适用于处理大量的数值数据，这在固体力学分析中经常用到。例如，声明一个二维实型数组来存储应力张量：

REAL, DIMENSION(3, 3) :: stress_tensor

固体力学分析基础

固体力学主要研究固体材料在外部载荷作用下的力学响应，包括应力、应变以及位移等。在分析过程中，需要基于一些基本的力学原理和方程。

弹性力学基本方程

1. 平衡方程：描述物体在受力状态下保持平衡的条件。对于三维问题，在笛卡尔坐标系下，平衡方程的表达式为： [ \begin{cases} \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + f_x = 0 \ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + f_y = 0 \ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + f_z = 0 \end{cases} ] 其中，(\sigma_{ij}) 是应力分量，(\tau_{ij}) 是剪应力分量，(f_i) 是单位体积的体力分量。

2. 几何方程：建立了应变与位移之间的关系。对于小变形情况，几何方程为： [ \begin{cases} \epsilon_{xx} = \frac{\partial u}{\partial x} \ \epsilon_{yy} = \frac{\partial v}{\partial y} \ \epsilon_{zz} = \frac{\partial w}{\partial z} \ \gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \ \gamma_{yz} = \frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y} \ \gamma_{zx} = \frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z} \end{cases} ] 其中，(\epsilon_{ij}) 是应变分量，(\gamma_{ij}) 是工程剪应变分量，(u)、(v)、(w) 分别是 (x)、(y)、(z) 方向的位移分量。

3. 本构方程：描述材料应力与应变之间的关系。对于各向同性线弹性材料，广义胡克定律给出了本构方程： [ \begin{cases} \sigma_{xx} = 2G\epsilon_{xx} + \lambda e \delta_{xx} \ \sigma_{yy} = 2G\epsilon_{yy} + \lambda e \delta_{yy} \ \sigma_{zz} = 2G\epsilon_{zz} + \lambda e \delta_{zz} \ \tau_{xy} = G\gamma_{xy} \ \tau_{yz} = G\gamma_{yz} \ \tau_{zx} = G\gamma_{zx} \end{cases} ] 其中，(G) 是剪切模量，(\lambda) 是拉梅常数，(e = \epsilon_{xx} + \epsilon_{yy} + \epsilon_{zz})，(\delta_{ij}) 是克罗内克符号。

Fortran 在固体力学问题建模中的应用

有限元方法基础

有限元方法是固体力学分析中广泛应用的数值方法。其基本思想是将连续的求解域离散为有限个单元的组合，通过对每个单元进行力学分析，再将这些单元组合起来，从而得到整个结构的力学响应。

在有限元分析中，首先需要对结构进行离散化，即将结构划分成若干个有限大小的单元，如三角形单元、四边形单元等。然后，基于单元的节点位移，通过形函数来描述单元内任意点的位移。例如，对于二维三角形单元，形函数 (N_i(x, y))（(i = 1, 2, 3)）满足： [ u(x, y) = N_1(x, y)u_1 + N_2(x, y)u_2 + N_3(x, y)u_3 ] [ v(x, y) = N_1(x, y)v_1 + N_2(x, y)v_2 + N_3(x, y)v_3 ] 其中，((u_i, v_i)) 是节点 (i) 的位移分量。

用 Fortran 实现有限元模型的建立

1. 单元信息存储：在 Fortran 中，可以使用结构体来存储单元的相关信息，如节点编号、材料属性等。以下是一个简单的单元结构体定义示例：

TYPE :: element_type
    INTEGER :: node(3)
    REAL :: material_property
END TYPE element_type

2. 节点信息存储：同样，也可以使用结构体来存储节点的坐标和位移信息：

TYPE :: node_type
    REAL :: x, y
    REAL :: u, v
END TYPE node_type

3. 有限元模型数据初始化：在程序开始时，需要对有限元模型的各种数据进行初始化，包括节点坐标、单元连接关系以及材料属性等。以下是一个简单的初始化代码示例：

PROGRAM initialize_fem_model
    IMPLICIT NONE

    INTEGER, PARAMETER :: num_nodes = 10
    INTEGER, PARAMETER :: num_elements = 5
    TYPE(node_type) :: nodes(num_nodes)
    TYPE(element_type) :: elements(num_elements)

    INTEGER :: i

    ! 初始化节点坐标
    DO i = 1, num_nodes
        nodes(i)%x = REAL(i)
        nodes(i)%y = REAL(i)
    END DO

    ! 初始化单元连接关系
    elements(1)%node = [1, 2, 3]
    elements(2)%node = [2, 3, 4]
    elements(3)%node = [4, 5, 6]
    elements(4)%node = [5, 6, 7]
    elements(5)%node = [7, 8, 9]

    ! 初始化材料属性
    DO i = 1, num_elements
        elements(i)%material_property = 1.0
    END DO

END PROGRAM initialize_fem_model

基于 Fortran 的固体力学方程求解

平衡方程的离散化求解

1. 单元刚度矩阵计算：在有限元方法中，单元刚度矩阵是求解平衡方程的关键。对于二维三角形单元，其刚度矩阵 (K^e) 可以通过以下步骤计算：
   • 首先，根据几何方程和本构方程，将应变与应力用节点位移表示。
   • 然后，利用虚功原理，得到单元刚度矩阵的表达式： [ K^e = \int_{V^e} B^T D B dV ] 其中，(B) 是应变 - 位移矩阵，(D) 是弹性矩阵，(V^e) 是单元体积。

在 Fortran 中，可以编写一个子程序来计算单元刚度矩阵。以下是一个简化的计算二维三角形单元刚度矩阵的 Fortran 子程序示例：

SUBROUTINE compute_element_stiffness_matrix(element, nodes, K)
    TYPE(element_type), INTENT(IN) :: element
    TYPE(node_type), INTENT(IN) :: nodes(:)
    REAL, INTENT(OUT) :: K(6, 6)

    INTEGER :: i, j, k
    REAL :: x1, y1, x2, y2, x3, y3
    REAL :: A, b1, b2, b3, c1, c2, c3
    REAL :: D(3, 3)
    REAL :: B(3, 6)

    ! 获取单元节点坐标
    x1 = nodes(element%node(1))%x
    y1 = nodes(element%node(1))%y
    x2 = nodes(element%node(2))%x
    y2 = nodes(element%node(2))%y
    x3 = nodes(element%node(3))%x
    y3 = nodes(element%node(3))%y

    ! 计算三角形面积
    A = 0.5 * (x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2))

    ! 计算 B 矩阵系数
    b1 = y2 - y3
    b2 = y3 - y1
    b3 = y1 - y2
    c1 = x3 - x2
    c2 = x1 - x3
    c3 = x2 - x1

    ! 构建弹性矩阵 D
    D(1, 1) = 2.0 * elements(1)%material_property
    D(1, 2) = elements(1)%material_property
    D(2, 1) = elements(1)%material_property
    D(2, 2) = 2.0 * elements(1)%material_property
    D(3, 3) = elements(1)%material_property

    ! 构建 B 矩阵
    B(1, 1) = b1 / (2.0 * A)
    B(1, 3) = b2 / (2.0 * A)
    B(1, 5) = b3 / (2.0 * A)
    B(2, 2) = c1 / (2.0 * A)
    B(2, 4) = c2 / (2.0 * A)
    B(2, 6) = c3 / (2.0 * A)
    B(3, 2) = b1 / (2.0 * A)
    B(3, 1) = c1 / (2.0 * A)
    B(3, 4) = b2 / (2.0 * A)
    B(3, 3) = c2 / (2.0 * A)
    B(3, 6) = b3 / (2.0 * A)
    B(3, 5) = c3 / (2.0 * A)

    ! 计算单元刚度矩阵
    K = MATMUL(MATMUL(TRANSPOSE(B), D), B) * A

END SUBROUTINE compute_element_stiffness_matrix

2. 整体刚度矩阵组装：将各个单元的刚度矩阵组装成整体刚度矩阵。在 Fortran 中，可以通过循环遍历所有单元，将单元刚度矩阵的元素按照对应节点编号累加到整体刚度矩阵中。以下是一个简单的整体刚度矩阵组装代码示例：

PROGRAM assemble_global_stiffness_matrix
    IMPLICIT NONE

    INTEGER, PARAMETER :: num_nodes = 10
    INTEGER, PARAMETER :: num_elements = 5
    TYPE(node_type) :: nodes(num_nodes)
    TYPE(element_type) :: elements(num_elements)
    REAL :: K_global(2 * num_nodes, 2 * num_nodes) = 0.0
    REAL :: K_element(6, 6)
    INTEGER :: i, j, k, l

    ! 初始化节点和单元信息（此处省略具体初始化代码）

    DO i = 1, num_elements
        CALL compute_element_stiffness_matrix(elements(i), nodes, K_element)
        DO j = 1, 3
            DO k = 1, 2
                l = 2 * (elements(i)%node(j) - 1) + k
                DO m = 1, 3
                    DO n = 1, 2
                        K_global(l, 2 * (elements(i)%node(m) - 1) + n) = K_global(l, 2 * (elements(i)%node(m) - 1) + n) + K_element(2 * (j - 1) + k, 2 * (m - 1) + n)
                    END DO
                END DO
            END DO
        END DO
    END DO

END PROGRAM assemble_global_stiffness_matrix

3. 求解平衡方程：在得到整体刚度矩阵 (K) 和载荷向量 (F) 后，平衡方程可以表示为 (K \cdot U = F)，其中 (U) 是节点位移向量。在 Fortran 中，可以使用线性代数库（如 LAPACK）来求解这个线性方程组。以下是一个使用 LAPACK 库中 DGESV 子程序求解平衡方程的示例：

PROGRAM solve_equilibrium_equations
    USE LAPACK95
    IMPLICIT NONE

    INTEGER, PARAMETER :: num_nodes = 10
    INTEGER, PARAMETER :: num_elements = 5
    TYPE(node_type) :: nodes(num_nodes)
    TYPE(element_type) :: elements(num_elements)
    REAL :: K_global(2 * num_nodes, 2 * num_nodes) = 0.0
    REAL :: F(2 * num_nodes) = 0.0
    REAL :: U(2 * num_nodes)
    INTEGER :: info
    INTEGER :: ipiv(2 * num_nodes)

    ! 初始化节点、单元信息以及载荷向量（此处省略具体初始化代码）

    ! 组装整体刚度矩阵（此处省略具体组装代码）

    ! 调用 DGESV 求解线性方程组
    CALL DGESV(K_global, ipiv, F, U, info)

    IF (info /= 0) THEN
        WRITE(*,*) '求解线性方程组出错，info = ', info
    ELSE
        WRITE(*,*) '节点位移：'
        DO i = 1, 2 * num_nodes
            WRITE(*,*) 'U(', i, ') = ', U(i)
        END DO
    END IF

END PROGRAM solve_equilibrium_equations

应力与应变计算

1. 应变计算：在求得节点位移后，可以根据几何方程计算单元内各点的应变。对于二维三角形单元，应变可以通过节点位移和形函数的导数来计算。以下是一个计算二维三角形单元应变的 Fortran 子程序示例：

SUBROUTINE compute_strain(element, nodes, U, strain)
    TYPE(element_type), INTENT(IN) :: element
    TYPE(node_type), INTENT(IN) :: nodes(:)
    REAL, INTENT(IN) :: U(:)
    REAL, INTENT(OUT) :: strain(3)

    INTEGER :: i, j, k
    REAL :: x1, y1, x2, y2, x3, y3
    REAL :: A, b1, b2, b3, c1, c2, c3
    REAL :: B(3, 6)

    ! 获取单元节点坐标
    x1 = nodes(element%node(1))%x
    y1 = nodes(element%node(1))%y
    x2 = nodes(element%node(2))%x
    y2 = nodes(element%node(2))%y
    x3 = nodes(element%node(3))%x
    y3 = nodes(element%node(3))%y

    ! 计算三角形面积
    A = 0.5 * (x1 * (y2 - y3) + x2 * (y3 - y1) + x3 * (y1 - y2))

    ! 计算 B 矩阵系数
    b1 = y2 - y3
    b2 = y3 - y1
    b3 = y1 - y2
    c1 = x3 - x2
    c2 = x1 - x3
    c3 = x2 - x1

    ! 构建 B 矩阵
    B(1, 1) = b1 / (2.0 * A)
    B(1, 3) = b2 / (2.0 * A)
    B(1, 5) = b3 / (2.0 * A)
    B(2, 2) = c1 / (2.0 * A)
    B(2, 4) = c2 / (2.0 * A)
    B(2, 6) = c3 / (2.0 * A)
    B(3, 2) = b1 / (2.0 * A)
    B(3, 1) = c1 / (2.0 * A)
    B(3, 4) = b2 / (2.0 * A)
    B(3, 3) = c2 / (2.0 * A)
    B(3, 6) = b3 / (2.0 * A)
    B(3, 5) = c3 / (2.0 * A)

    ! 计算应变
    strain = MATMUL(B, U(2 * (element%node - 1) + [1, 2]))

END SUBROUTINE compute_strain

2. 应力计算：根据本构方程，由应变计算应力。对于二维各向同性线弹性材料，应力 - 应变关系可以通过弹性矩阵 (D) 来描述。以下是一个计算二维三角形单元应力的 Fortran 子程序示例：

SUBROUTINE compute_stress(element, strain, stress)
    TYPE(element_type), INTENT(IN) :: element
    REAL, INTENT(IN) :: strain(3)
    REAL, INTENT(OUT) :: stress(3)

    REAL :: D(3, 3)

    ! 构建弹性矩阵 D
    D(1, 1) = 2.0 * elements(1)%material_property
    D(1, 2) = elements(1)%material_property
    D(2, 1) = elements(1)%material_property
    D(2, 2) = 2.0 * elements(1)%material_property
    D(3, 3) = elements(1)%material_property

    ! 计算应力
    stress = MATMUL(D, strain)

END SUBROUTINE compute_stress

提高 Fortran 程序在固体力学分析中的性能

优化算法与数据结构

1. 算法优化：在固体力学分析中，许多计算过程存在可优化的空间。例如，在计算单元刚度矩阵时，可以采用更高效的数值积分方法，如高斯积分。高斯积分可以通过在积分区间内选取特定的积分点，以较少的计算量获得较高的积分精度。

在 Fortran 中，可以编写一个通用的高斯积分子程序，然后在计算单元刚度矩阵时调用。以下是一个简单的二维高斯积分子程序示例：

SUBROUTINE gauss_integration_2d(func, num_points, result)
    IMPLICIT NONE
    REAL, EXTERNAL :: func
    INTEGER, INTENT(IN) :: num_points
    REAL, INTENT(OUT) :: result
    REAL :: xi, eta, w
    INTEGER :: i, j

    result = 0.0
    IF (num_points == 1) THEN
        xi = 0.0
        eta = 0.0
        w = 4.0
        result = result + w * func(xi, eta)
    ELSE IF (num_points == 4) THEN
        xi = -1.0 / SQRT(3.0)
        eta = -1.0 / SQRT(3.0)
        w = 1.0
        result = result + w * func(xi, eta)
        xi = 1.0 / SQRT(3.0)
        eta = -1.0 / SQRT(3.0)
        result = result + w * func(xi, eta)
        xi = -1.0 / SQRT(3.0)
        eta = 1.0 / SQRT(3.0)
        result = result + w * func(xi, eta)
        xi = 1.0 / SQRT(3.0)
        eta = 1.0 / SQRT(3.0)
        result = result + w * func(xi, eta)
    END IF

END SUBROUTINE gauss_integration_2d

2. 数据结构优化：合理选择数据结构可以提高程序的运行效率。在固体力学分析中，对于大型有限元模型，稀疏矩阵存储格式可以显著减少内存占用。例如，采用压缩稀疏行（CSR）格式存储整体刚度矩阵。

在 Fortran 中，可以定义相应的数据结构来实现 CSR 格式存储。以下是一个简单的 CSR 格式数据结构定义示例：

TYPE :: csr_matrix_type
    INTEGER :: nnz
    INTEGER, ALLOCATABLE :: row_ptr(:)
    INTEGER, ALLOCATABLE :: col_ind(:)
    REAL, ALLOCATABLE :: values(:)
END TYPE csr_matrix_type

并行计算技术

1. OpenMP 并行化：OpenMP 是一种共享内存并行编程模型，在 Fortran 中使用 OpenMP 可以很方便地对程序进行并行化。在固体力学分析中，许多计算过程是可以并行进行的，例如单元刚度矩阵的计算。

以下是一个使用 OpenMP 对单元刚度矩阵计算进行并行化的 Fortran 代码示例：

SUBROUTINE compute_element_stiffness_matrix_parallel(num_elements, elements, nodes, K_global)
    USE OMP_LIB
    IMPLICIT NONE

    INTEGER, INTENT(IN) :: num_elements
    TYPE(element_type), INTENT(IN) :: elements(num_elements)
    TYPE(node_type), INTENT(IN) :: nodes(:)
    REAL, INTENT(INOUT) :: K_global(2 * num_nodes, 2 * num_nodes)

    INTEGER :: i
    REAL :: K_element(6, 6)

    !$OMP PARALLEL DO PRIVATE(i, K_element)
    DO i = 1, num_elements
        CALL compute_element_stiffness_matrix(elements(i), nodes, K_element)
        ! 组装单元刚度矩阵到整体刚度矩阵（此处省略具体组装代码）
    END DO
    !$OMP END PARALLEL DO

END SUBROUTINE compute_element_stiffness_matrix_parallel

2. MPI 并行化：对于分布式内存系统，可以使用消息传递接口（MPI）进行并行计算。MPI 允许程序在多个处理器或计算节点之间进行通信和数据交换。在固体力学分析中，可以将有限元模型划分到不同的计算节点上，每个节点负责计算一部分单元的刚度矩阵，然后通过 MPI 进行数据汇总和组装。

以下是一个简单的使用 MPI 进行整体刚度矩阵并行组装的 Fortran 代码示例：

PROGRAM mpi_assemble_global_stiffness_matrix
    USE MPI
    IMPLICIT NONE

    INTEGER :: ierr, my_rank, num_procs
    INTEGER, PARAMETER :: num_nodes = 10
    INTEGER, PARAMETER :: num_elements = 5
    TYPE(node_type) :: nodes(num_nodes)
    TYPE(element_type) :: elements(num_elements)
    REAL :: K_global(2 * num_nodes, 2 * num_nodes) = 0.0
    REAL :: K_element(6, 6)
    INTEGER :: i

    CALL MPI_Init(ierr)
    CALL MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, my_rank, ierr)
    CALL MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, num_procs, ierr)

    ! 每个进程初始化自己负责的单元信息（此处省略具体初始化代码）

    DO i = 1, num_elements / num_procs
        CALL compute_element_stiffness_matrix(elements(i), nodes, K_element)
        ! 组装单元刚度矩阵到局部刚度矩阵（此处省略具体组装代码）
    END DO

    ! 使用 MPI 进行数据汇总和整体刚度矩阵组装
    CALL MPI_Allreduce(MPI_IN_PLACE, K_global, 2 * num_nodes * 2 * num_nodes, MPI_REAL, MPI_SUM, MPI_COMM_WORLD, ierr)

    IF (my_rank == 0) THEN
        WRITE(*,*) '整体刚度矩阵：'
        DO i = 1, 2 * num_nodes
            WRITE(*,*) K_global(i, :)
        END DO
    END IF

    CALL MPI_Finalize(ierr)

END PROGRAM mpi_assemble_global_stiffness_matrix

通过以上优化方法和并行计算技术的应用，可以显著提高 Fortran 程序在固体力学分析中的性能，使其能够更高效地处理大规模的固体力学问题。同时，合理的代码结构和编程规范也有助于程序的维护和扩展。在实际应用中，需要根据具体的问题规模和计算资源，选择合适的优化策略和并行方法。